Razones y funciones trigonométricas
Definición de ángulo
Los ángulos se miden en dos sistemas diferentes, Sexagesimal y Radianes.
Las RAZONES trigonométricas son:
- Seno, se representa por Sen
- Coseno, se representa por Cos
- Tangente, se representa Tan
- Cotangente, se representa Ctg
- Secante, se representa por Sec
- Cosecante, se representa Csc
Las funciones trigonométricas son seis, 3 principales y sus inversas:
Una persona se encuentra a 30 metros de un poste y observa el extremo superior con un ángulo de elevación de 30º. Calcule la altura del poste. Supongamos que la persona esta en el piso, por lo tanto no tendremos en cuenta la altura de esta.
Aplicaciones de la razones y funciones trigonométricas
Veamos algunos ejemplos de triángulos rectángulos y las funciones trigonométricas
Video uno
Video dos
Vídeo tres
Función circular
La función circular nos sirve como soporte para trabajar las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS de algunos ángulos especiales. Como su nombre lo dice la función circular es una circunferencia de centro en el punto O(0,0) y RADIO igual a 1. La función circular, tambien es conocida como CÍRCULO UNITARIO.
La regla que define la función circular, dice lo siguiente:
A cada ángulo central (arco), le corresponde uno y solo un punto trigonométrico, es decir:
A cada ángulo central (arco), le corresponde uno y solo un punto trigonométrico, es decir:
F ( B ) = (X, Y) La función circular F asocia B con ( X, Y ). Todos los puntos que pertenecen a la función circular o círculo unitario, se llaman puntos trigonométricos.
Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales
Los ángulos cuadrantales son aquellos ángulos que se encuentran sobre los ejes ¨X¨y ¨Y¨ (Cuadrante) y van de 90° en 90°, así como todos sus COTERMINALES. Por ejemplo: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° y asi sucesivamente. Estos ángulos pueden ser positivos o negativos.
De la misma forma calcularemos entonces las FUNCIONES trigonométricas para los ángulos cuadrantales, así:
Funciones trigonométricas para 0°
Para calcular las FT de 0°, analizaremos la siguiente gráfica:
De la misma forma, podemos sacar las FT para el ángulo de 90 °
De la misma forma, podemos sacar las FT para el ángulo de 180°
En la siguiente tabla, llena las funciones trigonométricas de los ángulos, usando como referencia las F.T de los ángulos notables.
Signos de las funciones trigonométricas
Los signos de las funciones trigonométricas ( F.T ), dependen del cuadrante el que se encuentre el ángulo. Este ángulo se mide en sentido contrario al reloj. Es decir:
Como conclusión del círculo unitario, tenemos:
Identidades trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de las incógnitas que aparecen en la expresión. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Como resumen de las identidades trigonométricas, tenemos:
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad que contiene expresiones
trigonométricas. Esta ecuación sólo es válida para determinado valor de ángulos.
En una ecuación trigonométrica la incógnita es el ángulo y por tanto, resolver una ecuación de
este tipo es hallar el valor o los valores (si existen) del ángulo para los cuales se satisface la
ecuación. Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los ángulos que hacen
verdadera la igualdad.
Para resolver una E.T. se hace el siguiente procedimiento:
- Usamos principalmente las identidades trigonométricas,.
- Se expresan todas las funciones que aparecen allí en una sola.
- Es recomendable pasarlas todas a términos de seno y coseno.
- Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas.
- Por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Las ecuaciones trigonométricas ( E. T. ) pueden ser:
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
Ley de senos y de cosenos
Ley de senos
Esta ley nos dice que en cualquier triángulo, la RAZÓN entre la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto es una CONSTANTE. Es decir:
Ley de cosenos
Esta ley nos dice que en cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos su doble producto por el COSENO del ángulo que forman. es decir:
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