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Razones y Funciones trigonométricas
Matemáticas
viernes, 16 de enero de 2026
Inecuaciones y desigualdades
Una de las conexiones más importantes de todas las matemáticas es la que se da entre la geometría y el álgebra. Historicamente, las matemáticas tomaron un fuerte impulso en el siglo XVII cuando las ideas geométricas de los antiguos se expresaron usando el lenguaje del álgebra, haciendo surgir nuevas herramientas para la resolución de gran variedad de problemas. Los Griegos tomaron elementos de la matemática de los Babilonios y de los Egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.c. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones, pero se cree que se originaron poco después de las ecuaciones debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números.
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad
La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b y a ≥ b (a es mayor o igual que b).
La notación ¨a mayor que b¨ quiere decir que a es MUCHO MAYOR que b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a la luz un cierto resultado.
Es una expresión matemática en la que aparen los símbolos ¨< ¨( menor que) ,¨ >¨ ( Mayor que ) y además .............
Sí un número real se encuentra a la derecha de otro real, este número es mayor. Si un número se encuentra a la izquierda de otro real, es menor.
Antes de definir el concepto de INECUACIÓN, es importante manejar los INTERVALOS.
Es un conjunto de números reales que se encuentran ubicados dentro de otros dos números reales llamados EXTREMOS. Los intervalos pueden ser: Abiertos, cerrados, semiabiertos, semicerrados.
Inecuaciones Las inecuaciones pueden ser lineales, de segundo grado o racionales.
Lineales Son todas aquellas donde el exponente de la variable es ¨UNO¨. Se aplica matemáticas operativas. para resolverlas.
Funciones y relaciones
Una función es una relación donde todos los elementos del conjunto de partida se relacionan una sola vez, es decir que tienen una sola imagen. Las funciones se representarán con la letra F mayúscula y se denota por la expresión:
Dominio y Rango de una función
Dominio de una función
Llamaremos DOMINIO de una función al conjunto formado por todas las pre-imágenes, es decir por todos los valores que puede tomar la X. El DOMINIO se representa por la letra mayúscula D.
Llamaremos RANGO de una función al conjunto formado por todas las imágenes, es decir por todos los valores que puede tomar la Y. El RANGO se representa por la letra mayúscula I.
Para hallar el DOMINIO de una función despejamos la variable ¨Y¨. Luego analizamos todos los posibles valores que puede tomar la ¨X¨. Puede ocurrir que:
- La X hace parte de un radical par. En este caso el radicando se coloca siempre MAYOR o IGUAL a ¨cero¨
- La X hace parte de un denominador. En este caso el denominador se coloca siempre IGUAL a ¨cero¨. El valor que hace cero al denominador es una asíntota vertical.
- La X no hace parte de un radical par y de un denominador alguno. En este caso el DOMINIO son todos los números reales Re.
Para hallar el RANGO de una función despejamos la variable ¨X¨. Luego analizamos todos los posibles valores que puede tomar la ¨Y¨. Puede ocurrir que:
- La Y hace parte de un radical par. En este caso el radicando se coloca siempre MAYOR o IGUAL a ¨cero¨
- La Y hace parte de un denominador. En este caso el denominador se coloca siempre IGUAL a ¨cero¨. El valor que hace cero al denominador es una asíntota horizontal
- La Y no hace parte de un radical par y de un denominador alguno. En este caso el RANGO son todos los números reales Re.
Geometría en el plano
Es un conjunto de infinitos puntos que se extienden en diferentes direcciones. se representan por letras mayúsculas o minúsculas sobre las cuales se les coloca una flecha de doble sentido. Gráficamente tienen la forma:
Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de la DISTANCIA entre dos puntos.
Sean A = x1 y B = x2 dos puntos de la recta. La distancia entre los puntos A y B se simbolizan por la expresión d = |AB| = | X1 - X2 | ó |X2-X1| que se lee ´Valor absoluto¨
Sean P y Q dos puntos diferentes en el plano cartesiano. Primero los ubicamos en el plano cartesiano y luego trazamos por estos puntos rectas perpendiculares a los ejes ´X¨ y ¨Y¨. Estas rectas se cortan en punto R como se observa en la gráfica. Finalmente se forma un triángulo rectángulo.
El punto medio de un segmento de extremos A (X1, Y1) y B (X2, Y2), será el punto medio del segmento AB, cuya forma es:
Sea una circunferencia con centro C ( h, K ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Aplicando la definición de circunferencia y la distancia entre dos puntos, se tiene:
Sea una circunferencia con centro C ( 0, 0 ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Aplicando la definición de circunferencia y la distancia entre dos puntos, se tiene:
Sea una circunferencia con centro en el punto C ( h, K ) y radio R, tomemos un punto P( X, Y ) de la circunferencia. Su ecuación tendrá la forma:
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